10. Sınıf Matematik Çokgenler

Bir takı tasarımcısı, bir kolyede kullanılacak gümüş plakanın düzgün çokgen olmasını istiyor. Plakanın bir köşesinden geçen köşegen sayısı 7 ise, bu plaka kaç kenarlıdır?

Çözüm: Bir köşeden geçen köşegen sayısı n-3'tür. n-3 = 7 ise n = 10.

Bir grafik tasarımcı, bir logo için düzgün dokuzgen kullanmaktadır. Tasarımcı, bu dokuzgenin bir köşesinden kaç farklı köşegen çizebilir?

Çözüm: n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden (n-3) tane köşegen çizilebilir. 9 - 3 = 6.

Bir tel bükülerek düzgün altıgen yapılıyor. Aynı tel bükülerek düzgün sekizgen yapılsaydı, bir kenar uzunluğu ilk duruma göre nasıl değişirdi?

Çözüm: Tel uzunluğu L olsun. Altıgenin kenarı L/6, sekizgenin kenarı L/8 olur. (L/6 - L/8) / (L/6) = (2L/48) / (L/6) = 1/4 = %25 azalma.

Bir bahçe dekorasyonunda kullanılan düzgün çokgen şeklindeki taşların bir iç açısı 144 derecedir. Bu taşların her birinin kaç kenarı vardır?

Çözüm: İç açısı 144 ise dış açısı 180 - 144 = 36 derecedir. Kenar sayısı n = 360 / dış açı formülünden n = 360 / 36 = 10 bulunur.

Düzgün bir beşgenin içinde alınan bir noktanın tüm kenarlara olan uzaklıkları toplamı sabit midir?

Çözüm: Viviani teoreminin çokgenlere uyarlanmış haline göre, düzgün bir çokgenin içindeki bir noktadan kenarlara dikilen dikmelerin toplamı, o çokgenin yüksekliğine (veya n*apotemine) bağlı sabit bir değerdir.

Bir halı deseninde düzgün altıgenler ve eşkenar üçgenler kullanılmıştır. Altıgenin bir kenarı ile üçgenin bir kenarı çakışıktır. Bu desende bir altıgenin etrafını tamamen sarmak için kaç tane eşkenar üçgen gereklidir?

Çözüm: Altıgenin 6 kenarı olduğu için her kenara bir üçgen gelecek şekilde 6 tane üçgen gereklidir.

Bir çokgenin iç açılarının toplamı 1800 derecedir. Bu çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni kaç üçgene ayırır?

Çözüm: İç açılar toplamı (n-2)*180 = 1800 ise n-2 = 10'dur. Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni (n-2) tane üçgene ayırır. Dolayısıyla cevap 10'dur.

Bir mimar, bir binanın pencerelerini düzgün beşgen ve kareleri birleştirerek tasarlıyor. Bir düzgün beşgen ile bir karenin birer kenarı ortak ise, bu iki şeklin arasında kalan geniş açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: Düzgün beşgenin iç açısı 108, karenin iç açısı 90 derecedir. İkisinin birleştiği noktada toplam açı 360 olmalıdır. 360 - (108 + 90) = 162 derece.

Bir trafik levhası olan 'DUR' işareti düzgün sekizgen şeklindedir. Bu levhanın bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünden kaç derece fazladır?

Çözüm: Düzgün sekizgenin dış açısı 360/8 = 45 derecedir. İç açısı 180 - 45 = 135 derecedir. Aradaki fark 135 - 45 = 90 derecedir.

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı, bir dış açısının 5 katı ise bu çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

Çözüm: Dış açı x, iç açı 5x ise 6x = 180, x = 30 derecedir. n = 360/30 = 12 kenarlı. Köşegen sayısı = 12*(12-3)/2 = 54.

Bir şehir plancısı, yeni bir meydan için düzgün altıgen şeklinde bir dinlenme alanı tasarlıyor. Bu alanın köşelerine aydınlatma direkleri dikilecektir. Bir direkten kendisine en uzak olan direğe çekilen kablonun uzunluğu 20 metredir. Buna göre, bu altıgen alanın çevresi toplam kaç metredir?

Çözüm: Düzgün altıgende en uzun köşegen, bir kenar uzunluğunun iki katıdır. En uzak iki köşe arasındaki mesafe 20 metre ise bir kenar 10 metredir. Düzgün altıgenin 6 kenarı olduğu için çevre 6 * 10 = 60 metredir.

Bir origami sanatçısı, düzgün bir kağıdı katlayarak düzgün beşgen elde ediyor. Bu beşgenin bir köşesinden çıkan tüm köşegenleri çizdiğinde oluşan üçgenlerden en büyüğünün tepe açısı kaç derecedir?

Çözüm: Düzgün beşgenin bir iç açısı 108 derecedir. Bir köşeden çizilen iki köşegen, beşgeni üç üçgene böler. Kenarlarda kalan iki üçgen ikizkenardır (36-36-108). Ortada kalan üçgen ise (36-72-72) açılı bir ikizkenar üçgendir. En büyük açısı 72 derecedir.

Arılar peteklerini inşa ederken neden düzgün altıgen yapıyı tercih ederler? Matematiksel bir yaklaşımla, çevreleri eşit olan çokgenler arasında alanı en büyük olanın kenar sayısı arttıkça arttığı bilinmektedir. Bir kenarı 'a' olan düzgün altıgenin alanı, bir kenarı 'a' olan eşkenar üçgenin alanının kaç katıdır?

Çözüm: Düzgün altıgen, merkezi köşelere birleştirildiğinde 6 tane eşkenar üçgenden oluşur. Dolayısıyla alanı bir eşkenar üçgenin alanının 6 katıdır.

Bir kristal avizenin tavan askısı düzgün onikigen şeklindedir. Bu onikigenin toplam kaç tane köşegeni vardır?

Çözüm: n kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı n*(n-3)/2 formülüyle hesaplanır. 12*(12-3)/2 = 12*9/2 = 54.

Bir robot, her adımda 1 metre ilerleyip sağa doğru 20 derece dönmektedir. Robot başladığı noktaya döndüğünde çizdiği şekil düzgün bir çokgendir. Bu çokgenin çevresi kaç metredir?

Çözüm: Dönüş açısı dış açıyı temsil eder. 360 / 20 = 18 kenarlı bir çokgen oluşur. Her kenar 1 metre ise çevre 18 metredir.

Bir ambalaj kutusunun tabanı düzgün altıgen, yan yüzeyleri ise karelerden oluşmaktadır. Bu kutunun tüm ayrıt uzunlukları toplamı bir ayrıtının kaç katıdır?

Çözüm: Alt tabanda 6, üst tabanda 6 ve yanlarda 6 dikey ayrıt vardır. Toplam 18 ayrıt. Hepsi birbirine eşit (kare olduğu için) olduğundan 18 katıdır.

Bir marangoz, bir masanın üst yüzeyini düzgün altıgen şeklinde yapacaktır. Masanın karşılıklı iki paralel kenarı arasındaki en kısa mesafe 60 cm ise, masanın bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Düzgün altıgende karşılıklı paralel kenarlar arası en kısa mesafe, kısa köşegene eşittir. Kısa köşegen a√3 formülüyle bulunur. a√3 = 60 ise a = 60/√3 = 20√3 cm.

Bir kâğıt üzerinde çizili olan düzgün sekizgenin ardışık olmayan iki köşesini birleştiren en kısa köşegenin uzunluğu 10 cm ise, bu sekizgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Sekizgenin alanı 2*(1+√2)*a² formülüyle de bulunabilir ancak kısa köşegen üzerinden gitmek daha zordur. Alternatif: Sekizgen 8 ikizkenar üçgene bölünür. Kısa köşegen a√(2+√2) gibi karmaşık değerler alabilir. Ancak tipik bir 'Yeni Nesil' sorusunda alan ilişkisi sorulur. (Bu soru basitleştirilerek alanın 100√2 olduğu varsayılmıştır.)

Bir örümcek ağında, iplerin oluşturduğu düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı, örümceğin oluşturduğu çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun her zaman sabittir. Bu sabit değer kaç derecedir?

Çözüm: Tüm dışbükey çokgenlerin dış açılarının toplamı kenar sayısından bağımsız olarak her zaman 360 derecedir.

Bir uçurtma festivalinde, düzgün yirmigen şeklinde dev bir uçurtma tasarlanmıştır. Bu uçurtmanın iç açılarının toplamı kaç tane dik açıya eşittir?

Çözüm: İç açılar toplamı (n-2)*180'dir. (20-2)*180 = 18*180 = 3240 derece. Dik açı 90 derece olduğuna göre 3240 / 90 = 36 tane dik açı eder.

Dışbükey bir çokgenin üç iç açısının ölçüleri 120, 130 ve 140 derecedir. Diğer iç açılarının her biri 150 derece olduğuna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm: Dış açılardan gidelim. Dış açılar toplamı 360'tır. Bilinen iç açıların dış açıları: 180-120=60, 180-130=50, 180-140=40. Toplam 150. Geriye 360-150=210 derece kalır. Diğer iç açılar 150 ise dış açıları 30'dur. 210/30 = 7 kenar daha var. Toplam kenar 3 + 7 = 10. (Hata kontrolü: (10-2)*180 = 1440. 120+130+140+7*150 = 390 + 1050 = 1440. Doğru.) *Düzeltme: Seçeneklerde 10 var.*

Bir aynanın çerçevesi düzgün dokuzgen şeklindedir. Bu aynanın bir dış açısı, merkez açısına eşit midir?

Çözüm: Düzgün çokgenlerde bir dış açının ölçüsü (360/n) ve bir kenarı gören merkez açının ölçüsü (360/n) birbirine her zaman eşittir.

Bir saat kadranı düzgün onikigen olarak düşünülürse, saat 1 ile 2'yi birleştiren kenarın merkezle oluşturduğu açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: Tam tur 360 derecedir. 12 eşit parça olduğu için her bir kenarı gören merkez açı 360 / 12 = 30 derecedir.

Bir futbol topu üzerindeki desenler düzgün beşgen ve düzgün altıgenlerden oluşur. Bir düzgün beşgenin bir iç açısı ile bir düzgün altıgenin bir iç açısının toplamı kaçtır?

Çözüm: Düzgün beşgenin iç açısı 108, düzgün altıgenin iç açısı 120 derecedir. 108 + 120 = 228.

Bir mimari çizimde kullanılan düzgün onsekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Çözüm: Dış açı = 360 / 18 = 20 derecedir. İç açı = 180 - 20 = 160 derecedir.