10. Sınıf Matematik Dörtgenler ve Özellikleri

Bir şehir plancısı, dörtgen şeklindeki bir parkın köşelerine güvenlik kameraları yerleştiriyor. Parkın iç açılarından üçü sırasıyla 85°, 95° ve 110° olarak ölçülmüştür. Dördüncü köşeye yerleştirilecek kameranın görüş açısının parkın içinde kalan kısmını tam kapsaması için bu açının kaç derece olması gerekir?

Çözüm: Dörtgenlerin iç açılarının toplamı 360 derecedir. 85 + 95 + 110 + x = 360 denkleminden 290 + x = 360 ve x = 70 bulunur.

Bir ABCD paralelkenarında A açısının açıortayı ile B açısının açıortayı bir E noktasında kesişmektedir. Buna göre AEB açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: Paralelkenarda komşu iki açının toplamı 180 derecedir. Açıortaylar bu açıların yarısını alacağı için, üçgenin içindeki iki açının toplamı 180/2 = 90 derece olur. Üçgenin iç açılar toplamından E açısı 180-90 = 90 derece kalır.

Dörtgen şeklindeki bir kağıdın iç açılarının ölçüleri 2, 3, 4 ve 6 sayıları ile orantılıdır. En büyük iç açı ile en küçük iç açının farkı kaç derecedir?

Çözüm: 2k + 3k + 4k + 6k = 360 => 15k = 360 => k = 24. En büyük 6k = 144, en küçük 2k = 48. Fark = 144 - 48 = 96 derece.

Eşkenar dörtgen şeklindeki bir uçurtmanın köşegen uzunlukları 16 cm ve 30 cm'dir. Bu uçurtmanın çevresini süslemek isteyen bir çocuk kaç cm şeride ihtiyaç duyar?

Çözüm: Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir ve birbirini ortalar. Dik üçgenin kenarları 8 cm ve 15 cm olur. Pisagor'dan bir kenar 17 cm bulunur (8-15-17 üçgeni). Çevre = 4 * 17 = 68 cm.

Bir kare ve bir eşkenar dörtgenin çevreleri birbirine eşittir. Karenin alanı 144 cm² ve eşkenar dörtgenin bir açısı 30° olduğuna göre, eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Karenin kenarı √144=12 cm, çevresi 48 cm'dir. Eşkenar dörtgenin kenarı da 12 cm olur. Alan = a * a * sin(30) = 12 * 12 * 0.5 = 72 cm².

Bir ABCD yamuğunda [AB] // [DC] ve [AC] ile [BD] köşegenleri E noktasında kesişmektedir. Alan(DEC) = 4 cm² ve Alan(ABE) = 9 cm² olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç cm²'dir?

Çözüm: Yamukta yan üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve S² = S1 * S2 formülü geçerlidir. S² = 4 * 9 = 36 => S = 6 cm². Toplam Alan = 4 + 9 + 6 + 6 = 25 cm².

Bir dik yamukta paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara diktir. Bu yamuğun alt tabanı 10 cm, üst tabanı 6 cm ve dik olmayan yan kenarı 5 cm ise alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Üst köşeden dikme indirilirse alt tabanda 6 ve 4 cm'lik parçalar oluşur. Dik üçgende 4² + h² = 5² => h=3 bulunur. Alan = ((10+6)/2) * 3 = 8 * 3 = 24 cm².

İkizkenar bir yamuğun köşegenleri birbirine diktir. Alt tabanı 12 cm ve üst tabanı 8 cm olduğuna göre, bu yamuğun yüksekliği kaç cm'dir?

Çözüm: Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik, orta taban uzunluğuna eşittir. h = (a+c)/2 = (12+8)/2 = 10 cm.

Paralelkenar şeklindeki bir bahçenin alanı 120 m²'dir. Bu bahçenin bir kenarı 15 m olduğuna göre, bu kenara ait yükseklik kaç metredir?

Çözüm: Paralelkenarın alanı = Taban * Yükseklik. 120 = 15 * h => h = 8 m.

Bir kare, köşegenleri boyunca kesilerek 4 parçaya ayrılıyor. Oluşan parçalardan birinin çevresi (10 + 5√2) cm olduğuna göre, karenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Parça, ikizkenar dik üçgendir. Hipotenüs karenin kenarı (a), dik kenarlar köşegenin yarısıdır (a√2/2). Çevre = a + 2 * (a√2/2) = a + a√2/2 * 2 = a + a√2. Verilen (10 + 5√2) ile karşılaştırırsak a=5√2 (çünkü 5√2 + 5√2*√2/2*2 = 5√2 + 10). Alan = a² = (5√2)² = 50 cm².

Dikdörtgen şeklindeki bir tablet ekranının kenar uzunlukları 3 ve 4 sayıları ile orantılıdır. Bu tabletin köşegen uzunluğu 25 cm olduğuna göre, ekranın alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Kenarlar 3k ve 4k ise Pisagor bağıntısından köşegen 5k olur. 5k = 25 ise k = 5'tir. Kenarlar 15 ve 20 cm olur. Alan = 15 * 20 = 300 cm².

Bir eşkenar dörtgenin çevresi 40 cm ve alanı 96 cm²'dir. Bu eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları toplamı kaç cm'dir?

Çözüm: Kenar a=10. Köşegenler e ve f olsun. e*f/2 = 96 => e*f=192. Ayrıca (e/2)² + (f/2)² = 10² => e²+f²=400. (e+f)² = e²+f²+2ef = 400 + 2*192 = 784. e+f = √784 = 28 cm.

Kenar orta noktaları birleştirilen herhangi bir ABCD dörtgeninin içinde oluşan yeni dörtgen her zaman hangisidir?

Çözüm: Varignon Teoremi'ne göre, herhangi bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan şekil her zaman bir paralelkenardır.

Bir deltoidde, simetri ekseni olmayan köşegenin uzunluğu 12 cm, bu köşegeni 90 derecelik açıyla kesen simetri ekseninin parçaları ise 4 cm ve 8 cm'dir. Bu deltoidin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Deltoidin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır. Köşegenler 12 cm ve (4+8)=12 cm'dir. Alan = (12 * 12) / 2 = 72 cm².

Bir mimar, ikizkenar yamuk şeklinde bir pencere tasarlıyor. Alt taban uzunluğu 120 cm, üst taban uzunluğu 80 cm ve yan kenarlarından biri 40 cm'dir. Bu pencerenin yüksekliği kaç cm olur?

Çözüm: İkizkenar yamukta üst taban köşelerinden dikmeler indirilirse, alt tabanda oluşan parçalar (120-80)/2 = 20 cm olur. Dik üçgende h² + 20² = 40² => h² = 1600 - 400 = 1200. h = 20√3 cm.

Kare şeklindeki bir kağıt, karşılıklı iki köşesi üst üste gelecek şekilde katlanıyor. Oluşan katlama çizgisinin uzunluğu 10√2 cm olduğuna göre, karenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Karede karşılıklı köşelerin katlanmasıyla oluşan katlama çizgisi diğer köşegendir. Köşegen uzunluğu a√2 formülüyle bulunur. a√2 = 10√2 ise a = 10 cm'dir.

Kenar uzunlukları 10 cm ve 24 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir resim çerçevesinin köşegenleri arasına bir ip gerilecektir. Bu ipin uzunluğu en az kaç cm olmalıdır?

Çözüm: Dikdörtgende köşegen uzunluğu Pisagor ile bulunur: √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26 cm (5-12-13 üçgeninin 2 katı).

Bir dikdörtgenin boyu %20 artırılıp eni %20 azaltılırsa alanındaki değişim nasıl olur?

Çözüm: İlk alan 100x * 100y = 10000xy olsun. Yeni alan 120x * 80y = 9600xy olur. 10000'den 9600'e düşüş %4 azalma demektir.

Bir ABCD paralelkenarında m(A) = 60°'dir. |AB| = 10 cm ve |AD| = 8 cm olduğuna göre, bu paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Alan = a * b * sin(alpha) formülünden; Alan = 10 * 8 * sin(60°) = 80 * (√3/2) = 40√3 cm².

Bir ABCD karesinin içinde bir E noktası alınıyor. ABE bir eşkenar üçgen olduğuna göre, DEC açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: ABE eşkenar ise AB=BE=AE. Karede AB=BC=CD=DA. Buradan BC=BE olur, yani BCE ikizkenar üçgendir. B açısı 90, ABE 60 ise EBC 30 kalır. İkizkenar üçgenden BCE ve BEC açıları (180-30)/2 = 75 olur. Aynı durum sol taraf için de geçerlidir. C açısı 90 ise ECD = 90-75=15 kalır. DEC üçgeninde 180-(15+15)=150 derece bulunur.

Bir mobilya tasarımcısı, paralelkenar şeklinde bir masa yüzeyi tasarlıyor. Masanın ardışık iki açısının ölçüleri (3x + 10)° ve (2x + 20)° olarak belirlenmiştir. Bu tasarımın hatasız olması için x değeri kaç olmalıdır?

Çözüm: Paralelkenarda ardışık açıların toplamı 180 derecedir. (3x + 10) + (2x + 20) = 180 => 5x + 30 = 180 => 5x = 150 => x = 30.

Bir yamuğun orta taban uzunluğu 15 cm, alt tabanı ise üst tabanının 2 katından 3 cm fazladır. Bu yamuğun üst taban uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Üst taban x olsun, alt taban 2x+3 olur. Orta taban = (Alt + Üst) / 2 => 15 = (x + 2x + 3) / 2 => 30 = 3x + 3 => 3x = 27 => x = 9.

Bir deltoidin ardışık olmayan iki açısının ölçüleri 120° ve 40°'dir. Diğer iki eş açının her biri kaç derecedir?

Çözüm: Deltoidin iç açılar toplamı 360 derecedir. Eş olan açılara x dersek; 120 + 40 + 2x = 360 => 160 + 2x = 360 => 2x = 200 => x = 100.

Bir kenarı 6 cm olan bir eşkenar dörtgenin bir iç açısı 120 derecedir. Bu dörtgenin kısa köşegen uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Açısı 120 derece olan eşkenar dörtgende, kısa köşegen çizildiğinde iki tane eşkenar üçgen oluşur. Dolayısıyla kısa köşegen kenar uzunluğuna eşittir: 6 cm.

Bir ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenleri dik kesişmektedir. |AB| = 6 cm, |BC| = 7 cm ve |CD| = 8 cm olduğuna göre, |AD| kaç cm'dir?

Çözüm: Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir. AB² + CD² = BC² + AD² => 6² + 8² = 7² + x² => 36 + 64 = 49 + x² => 100 - 49 = x² => x = √51.