10. Sınıf Matematik Eşkenar Dörtgen Dikdörtgen ve Kare

Bir tasarımcı, eşkenar dörtgen şeklindeki bir logoyu, bir kenarı 10 cm ve bir açısı 120 derece olacak şekilde çiziyor. Bu logonun alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Eşkenar dörtgenin alanı a^2 * sin(alpha) formülüyle bulunur. 10^2 * sin(120) = 100 * (√3/2) = 50√3 cm².

Dikdörtgen şeklindeki bir odanın tabanı, kenar uzunluğu 40 cm olan kare fayanslarla döşenecektir. Odanın boyutları 4 metreye 6 metre olduğuna göre en az kaç fayans gereklidir?

Çözüm: Oda alanı = 400 cm * 600 cm = 240.000 cm². Fayans alanı = 40 cm * 40 cm = 1.600 cm². Fayans sayısı = 240.000 / 1.600 = 150.

Kare şeklindeki bir bahçenin içine, bahçenin kenarlarına 2 metre mesafede olacak şekilde kare bir havuz yapılıyor. Bahçenin bir kenarı 10 metre olduğuna göre havuzun alanı kaç metrekaredir?

Çözüm: Bahçenin her iki yanından 2'şer metre içeride kalındığı için havuzun bir kenarı 10 - 2 - 2 = 6 metre olur. Alan = 6 * 6 = 36 metrekaredir.

Dikdörtgen şeklindeki bir kağıt, uzun kenarı boyunca 3 eş parçaya bölünecek şekilde katlanıyor. İlk durumdaki çevre 60 cm, son durumdaki küçük dikdörtgenlerden birinin çevresi 28 cm olduğuna göre kağıdın uzun kenarı kaç cm'dir?

Çözüm: Kenarlar a ve 3b olsun. 2(a+3b) = 60 => a+3b=30. Katlanınca oluşan şekil a ve b kenarlıdır. 2(a+b) = 28 => a+b=14. İki denklemden 2b=16, b=8 bulunur. Ancak bu durumda a=6 olur. Uzun kenar 3b = 24. (Denklemi tekrar kurarsak a kısa kenar kabul edilirse 3b=18, b=6, a=12 sağlar. 2(12+18)=60 ve 2(12+6)=36 değil. Soru kurgusuna göre a ve b yer değişebilir.) 3b=18 ise b=6, a=12. 2(12+18)=60. 2(12+2)=28 (b/3 katlama). Sonuç 18.

Bir eşkenar dörtgenin alanı 96 cm² ve köşegenlerinden biri 12 cm'dir. Bu eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm: (12 * f) / 2 = 96 => 6f = 96 => f = 16. Köşegen yarıları 6 ve 8'dir. 6-8-10 üçgeninden kenar 10 olur. Çevre = 4 * 10 = 40 cm.

Dikdörtgen şeklindeki bir tablonun çevresi 120 cm'dir. Bu tablonun kenar uzunlukları aralarında asal iki tam sayı olduğuna göre, tablonun alanı en fazla kaç santimetrekare olabilir?

Çözüm: 2(a+b) = 120 ise a+b = 60. Alanın en büyük olması için a ve b birbirine en yakın seçilmelidir. 30 ve 30 kare olur (aralarında asal değil). 29 ve 31 aralarında asaldır. Alan = 29 * 31 = 899 cm².

Bir kenar uzunluğu a olan karenin alanı S1, bu karenin köşegenini kenar kabul eden yeni bir karenin alanı S2'dir. S1/S2 oranı kaçtır?

Çözüm: S1 = a². Karenin köşegeni a√2'dir. Bu köşegeni kenar kabul eden karenin alanı S2 = (a√2)² = 2a². S1/S2 = a² / 2a² = 1/2.

Dikdörtgen şeklindeki bir televizyon ekranının en-boy oranı 16:9'dur. Bu ekranın köşegen uzunluğu 80 cm ise, ekranın alanı yaklaşık kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Kenarlar 16k ve 9k olsun. (16k)^2 + (9k)^2 = 80^2 => 256k^2 + 81k^2 = 6400 => 337k^2 = 6400 => k^2 ≈ 18.99. Alan = 16k * 9k = 144k^2. 144 * 18.99 ≈ 2734. Seçenekler arasında en yakın mantıksal hesaplama ve tam sayı yuvarlamasıyla C şıkkı hedeflenmiştir.

Kare şeklindeki bir parkın köşesinde bulunan bir kişi, karşı köşeye en kısa yoldan (köşegen üzerinden) 20√2 metre yürüyerek ulaşıyor. Bu parkın alanı kaç metrekaredir?

Çözüm: Karenin köşegeni a√2 formülüyle bulunur. a√2 = 20√2 ise bir kenar a = 20'dir. Alan = 20 * 20 = 400 metrekaredir.

Bir kenarı 8 cm olan kare, her bir kenarının orta noktaları işaretlenerek kesiliyor ve bir sekizgen elde edilmeye çalışılıyor. Ancak sadece köşelerden ikizkenar dik üçgenler kesilirse, oluşan yeni şeklin alanı 48 cm² olduğuna göre kesilen bir üçgenin bir dik kenarı kaç cm'dir?

Çözüm: Tüm alan 8*8 = 64. Kalan alan 48 ise kesilen 4 üçgenin toplam alanı 64 - 48 = 16'dır. Bir üçgenin alanı 16 / 4 = 4 olur. İkizkenar dik üçgenin alanı (x*x)/2 = 4 ise x^2 = 8, x = 2√2. (Soru metninde 16 toplam alan ise x=2 olur. 4 * (2*2/2) = 4 * 2 = 8. 64-8=56. Eğer 16 ise 64-16=48. x=2 sağlar.)

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinden biri, bir kenar uzunluğuna eşittir. Bu eşkenar dörtgenin büyük açısı kaç derecedir?

Çözüm: Köşegen kenara eşitse, eşkenar dörtgen iki tane eşkenar üçgenden oluşur. Eşkenar üçgenin açısı 60 derece olduğundan, diğer açı 180-60=120 derecedir.

Bir kare ve bir eşkenar dörtgenin çevreleri birbirine eşittir. Karenin alanı 144 cm² ve eşkenar dörtgenin bir açısı 30 derece olduğuna göre, eşkenar dörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Karenin alanı 144 ise bir kenarı 12'dir. Çevresi 48'dir. Eşkenar dörtgenin çevresi de 48 ise bir kenarı 12'dir. Alan = 12 * 12 * sin(30) = 144 * 0.5 = 72 cm².

Eşkenar dörtgenin ardışık iki açısının oranı 1/2'dir. Bu eşkenar dörtgenin bir kenarı 8 cm ise alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: x + 2x = 180 => 3x = 180 => x = 60. Açılar 60 ve 120 derecedir. Alan = a^2 * sin(60) = 8^2 * (√3/2) = 64 * √3/2 = 32√3 cm².

Bir mimar, eşkenar dörtgen şeklindeki bir hobi bahçesinin köşegenlerine yürüyüş yolları yapmayı planlamaktadır. Bu yolların uzunlukları 24 metre ve 32 metre olarak belirlenmiştir. Bu bahçenin etrafını bir sıra tel örgü ile çevirmek isteyen mimarın kaç metre tel örgüye ihtiyacı vardır?

Çözüm: Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik keser ve ortalar. Köşegen yarıları 12 m ve 16 m olur. Oluşan dik üçgende (12-16-20 üçgeni, 3-4-5'in 4 katı) bir kenar 20 m bulunur. Çevre = 4 * 20 = 80 metredir.

Bir kenarı 12 cm olan kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden bir kenarı 2 cm olan dört eş kare kesilip atılıyor. Kalan şeklin çevresi nasıl değişir?

Çözüm: Bir köşeden kare kesildiğinde, eksilen iki kenar yerine içeriye doğru aynı uzunlukta iki yeni kenar gelir. Dolayısıyla çevre uzunluğu değişmez.

Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin boyu eninden 4 metre fazladır. Bahçenin alanı 96 metrekare olduğuna göre çevresi kaç metredir?

Çözüm: x(x+4) = 96 => x² + 4x - 96 = 0 => (x+12)(x-8) = 0. x = 8. Kenarlar 8 ve 12'dir. Çevre = 2(8+12) = 40 metre.

Çevresi 40 cm olan bir karenin içine çizilebilecek en büyük dairenin alanı kaç π santimetrekaredir?

Çözüm: Çevre 40 ise bir kenar 10'dur. İçine çizilen en büyük dairenin çapı karenin kenarına eşittir. Çap = 10, yarıçap r = 5 olur. Alan = πr² = 25π.

Dikdörtgen şeklindeki bir kağıt, kısa kenarı uzun kenarının üzerine gelecek şekilde köşeden katlandığında bir kare bölge ve bir dikdörtgen bölge oluşuyor. Kağıdın kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 10 cm ise oluşan küçük dikdörtgenin alanı kaç cm² olur?

Çözüm: Katlama sonucunda 6x6'lık bir kare kısım ayrılır. Geriye kalan kısmın bir kenarı 6 cm (kısa kenar değişmez), diğer kenarı 10 - 6 = 4 cm olur. Alan = 6 * 4 = 24 cm².

Kare şeklindeki bir kağıt, karşılıklı iki kenarının orta noktalarını birleştiren çizgi boyunca katlanıyor. Oluşan yeni şeklin çevresi 30 cm olduğuna göre, kağıdın katlanmadan önceki alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Karenin bir kenarı 2a olsun. Katlandığında kenarları 2a ve a olan bir dikdörtgen oluşur. Çevresi 2(2a+a) = 6a = 30 ise a = 5'tir. Karenin bir kenarı 2a = 10 olur. Alan = 10 * 10 = 100 cm².

Eşkenar dörtgenin köşegenleri 10 cm ve 24 cm'dir. Bu eşkenar dörtgenin bir kenarına ait yükseklik kaç cm'dir?

Çözüm: Alan = (10 * 24) / 2 = 120. Kenar: 5-12-13 üçgeninden 13 cm. Alan aynı zamanda Kenar * Yükseklik'tir. 13 * h = 120 => h = 120/13 ≈ 9.23. (Seçeneklerde 9.6 daha yaygın bir soru kalıbı cevabıdır, ancak 120/13 tam karşılığıdır. 120/13 ≈ 9.23. Düzeltme: Eğer köşegenler 12-16 olsaydı kenar 10, alan 96, h=9.6 olurdu. Bu soru için en yakın 9.2'dir.)

Bir dikdörtgenin köşegenleri arasındaki dar açı 60 derecedir. Köşegen uzunluğu 10 cm olduğuna göre bu dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Alan = 1/2 * e * f * sin(alpha) formülü dikdörtgen için de geçerlidir. 1/2 * 10 * 10 * sin(60) = 50 * (√3/2) = 25√3 cm².

Eşkenar dörtgen şeklindeki bir aynanın çevresi 52 cm ve köşegenlerinden biri 10 cm'dir. Aynanın alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Çevre 52 ise bir kenar 13'tür. Köşegenin yarısı 5'tir. 5-12-13 üçgeninden diğer köşegen yarısı 12, tamamı 24 bulunur. Alan = (10 * 24) / 2 = 120 cm².

Bir dikdörtgenin kısa kenarı %20 artırılıp, uzun kenarı %20 azaltılırsa alanındaki değişim aşağıdakilerden hangisi olur?

Çözüm: Kenarlar 10 ve 10 olsun (kare de bir dikdörtgendir). Alan 100'dür. Yeni kenarlar 12 ve 8 olur. Yeni alan 12*8 = 96 olur. 100'den 96'ya düşüş %4 azalmadır.

Bir kenarı 6 cm olan bir karenin içine, köşeleri karenin kenarlarının orta noktaları olan yeni bir dörtgen çiziliyor. Bu dörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Orta noktaların birleşimiyle oluşan şekil de bir karedir ve alanı dıştaki karenin alanının yarısıdır. 6 * 6 = 36. 36 / 2 = 18 cm².

Eşkenar dörtgen biçimindeki bir uçurtmanın bir köşegeni, diğer köşegeninin 3 katıdır. Uçurtmanın alanı 54 birimkare olduğuna göre, kısa köşegeni kaç birimdir?

Çözüm: Alan = (e * f) / 2. f = 3e olsun. (e * 3e) / 2 = 54 => 3e^2 = 108 => e^2 = 36 => e = 6.