10. Sınıf Matematik Katı Cisimler

Bir su deposu dikdörtgenler prizması şeklindedir. Taban ayrıtları 2m ve 3m, yüksekliği 4m'dir. Deponun 3/4'ü su ile doludur. Depodan 6000 litre su alınırsa suyun yeni yüksekliği kaç metre olur? (1 m³ = 1000 litre)

Çözüm: Toplam hacim = 2*3*4 = 24 m³. Mevcut su = 24 * (3/4) = 18 m³. Alınan su = 6000 L = 6 m³. Kalan su = 18 - 6 = 12 m³. Yeni yükseklik h olsun: 2 * 3 * h = 12 => 6h = 12 => h = 2 m.

Bir kenar uzunluğu 2 birim olan küplerden 4 tanesi yan yana getirilerek bir kare dik prizma oluşturuluyor. Bu prizmanın yüzey alanı en az kaç birimkaredir?

Çözüm: En az alan için küpler 2x2 düzeninde (kare taban) birleştirilmelidir. Yeni prizma 4x4 taban ve 2 yükseklik olur. Alan = 2*(4*4 + 4*2 + 4*2) = 2*(16+8+8) = 64. Eğer yan yana 1x4 dizilirse: 2x8 taban, 2 yükseklik. Alan = 2*(16+4+16) = 72. Soru 'yan yana' dediği için 2x2x2 küpü oluşur, Alan = 6 * 4² = 96 (Hata: 4 küp 2x2 dizilirse bir ayrıtı 4 olan bir kare prizma olur). Doğru dizilim 1x4 ise 72.

Bir kare dik piramidin taban ayrıtı %20 oranında artırılıp, yüksekliği %50 oranında azaltılırsa hacmi nasıl değişir?

Çözüm: İlk hacim V1 = (1/3)a²h. Yeni taban 1.2a, yeni yükseklik 0.5h. V2 = (1/3)(1.2a)²(0.5h) = (1/3)(1.44a²)(0.5h) = 0.72 * V1. Değişim: 1 - 0.72 = 0.28 yani %28 azalma.

Bir düzgün dörtyüzlünün bir ayrıtı 6 cm olduğuna göre, bu cismin tüm yüzey alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Düzgün dörtyüzlü 4 tane eşkenar üçgenden oluşur. Bir kenarı 'a' olan eşkenar üçgenin alanı (a²√3)/4'tür. Toplam Alan = 4 * (a²√3)/4 = a²√3. a=6 için Alan = 6²√3 = 36√3 cm².

Bir marangoz, boyutları 12 cm, 18 cm ve 30 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir tahtayı hiç parça artmayacak şekilde eş hacimli en büyük küplere bölecektir. Marangoz kaç adet küp elde eder?

Çözüm: EBOB(12, 18, 30) = 6 cm (küpün bir ayrıtı). Küp sayısı = (12/6) * (18/6) * (30/6) = 2 * 3 * 5 = 30. (Hesap hatası kontrolü: 12*18*30 / 6*6*6 = 6480 / 216 = 30. Seçeneklerde 30 var).

Bir kenarı 10 cm olan kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden bir kenarı 2 cm olan kareler kesilip atılıyor. Kalan kısım katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacmi kaç cm³ olur?

Çözüm: Kartonun yeni kenarları 10 - 2 - 2 = 6 cm olur. Katlandığında oluşan kutunun tabanı 6x6, yüksekliği ise kesilen parçanın kenarı olan 2 cm olur. Hacim = 6 * 6 * 2 = 72 cm³.

Bir küpün bir yüzünün çevresi 20 cm olduğuna göre, bu küpün tüm yüzey alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Bir yüzün çevresi 4a = 20 => a = 5 cm. Bir yüzün alanı a² = 25 cm². Küpün 6 yüzü vardır: 6 * 25 = 150 cm².

Yüksekliği 10 cm olan bir düzgün üçgen dik prizmanın tabanının bir kenarı 4 cm'dir. Bu prizmanın hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm: Eşkenar üçgen taban alanı = (a²√3)/4 = (4²√3)/4 = 4√3 cm². Hacim = Taban Alanı * h = 4√3 * 10 = 40√3 cm³.

Bir ayrıtı 6 cm olan küp şeklindeki bir tahta bloktan, taban ayrıtı 2 cm ve yüksekliği 6 cm olan kare dik prizma şeklinde bir parça oyularak çıkarılıyor. Oluşan yeni cismin yüzey alanı, küpün başlangıçtaki yüzey alanına göre nasıl değişir?

Çözüm: Parça çıkarıldığında üst ve alt tabanda 2*2=4 cm²'lik iki alan (toplam 8 cm²) eksilir. Ancak içeride 4 adet 2x6'lık yeni yan yüzey oluşur (4 * 12 = 48 cm²). Net değişim = 48 - 8 = 40 cm² artış (Not: Eğer parça boydan boya çıkarılıyorsa). Ancak soru köküne göre iç yüzeyler eklenirken üst ve alt taban boşlukları çıkarılır. 4*12 (yeni yanlar) - 2*4 (çıkan tabanlar) = 40. Seçeneklerde hata payı düşünülerek: Prizma köşeden çıkarılsaydı farklı olurdu. Standart 'içinden çıkarma' durumunda alan artar.

Şekildeki bir hediye kutusu, taban ayrıtı 10 cm olan bir düzgün altıgen dik prizmadır. Yan yüz yüksekliği (prizmanın boyu) 20 cm olduğuna göre bu kutunun yan alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Düzgün altıgenin taban çevresi = 6 * 10 = 60 cm. Yan Alan = Taban Çevresi * Yükseklik = 60 * 20 = 1200 cm².

Taban ayrıtı 6 cm ve yan yüz yüksekliği 5 cm olan bir kare dik piramidin hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm: Tabanın yarısı 3 cm, yan yüz yüksekliği 5 cm ise piramidin yüksekliği h = √(5² - 3²) = 4 cm. Hacim = (1/3) * Taban Alanı * h = (1/3) * 6² * 4 = 12 * 4 = 48 cm³.

Taban ayrıtı 10 cm ve yüksekliği 15 cm olan kare dik piramit şeklindeki bir kap tamamen su ile doludur. Bu suyun tamamı, taban ayrıtları 5 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boş bir kaba boşaltılıyor. Prizmadaki suyun yüksekliği kaç cm olur?

Çözüm: Piramidin hacmi = (1/3) * Taban Alanı * Yükseklik = (1/3) * 10² * 15 = 500 cm³. Dikdörtgenler prizmasının hacmi = 5 * 10 * h. 500 = 50 * h ise h = 10 cm bulunur.

Yanal alanı 144 cm² olan bir küpün hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm: Küpün 4 yan yüzü vardır. 4 * a² = 144 => a² = 36 => a = 6 cm. Hacim = a³ = 6³ = 216 cm³.

İçi dolu metal bir küp eritilerek, aynı taban alanına sahip iki adet kare dik piramit yapılıyor. Küpün bir ayrıtı 'a' ise, piramitlerden birinin yüksekliği aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Küpün hacmi = a³. Piramitlerin toplam hacmi = 2 * (1/3 * a² * h) = (2/3)a²h. a³ = (2/3)a²h => a = (2/3)h => h = 3a/2.

Bir mimar, kare dik piramit şeklinde bir cam tavan tasarlamaktadır. Piramidin taban ayrıtı 12 metre ve yüksekliği 8 metredir. Bu cam tavanın yan yüzeylerini kaplamak için kaç metrekare cam gereklidir?

Çözüm: Yan yüz yüksekliğini bulmak için Pisagor teoremi kullanılır. Tabanın yarısı 6 m, yükseklik 8 m ise yan yüz yüksekliği (h_y) = √(6² + 8²) = 10 m olur. Yan alan = (Taban Çevresi * h_y) / 2 = (4 * 12 * 10) / 2 = 240 m².

Taban ayrıtları 6 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu 26 cm'dir. Bu prizmanın yüksekliği kaç cm'dir?

Çözüm: Cisim köşegeni d = √(a² + b² + c²). 26 = √(6² + 8² + h²) => 26² = 36 + 64 + h² => 676 = 100 + h² => h² = 576 => h = 24 cm.

Hacmi 288 birimküp olan bir düzgün kare piramidin yüksekliği, taban ayrıtının yarısına eşittir. Bu piramidin taban çevresi kaç birimdir?

Çözüm: Taban ayrıtı 'a' olsun. Yükseklik h = a/2. Hacim = (1/3) * a² * (a/2) = 288. a³/6 = 288 => a³ = 1728 => a = 12. Taban çevresi = 4 * 12 = 48 birim.

Bir ayrıtı 4 cm olan bir küpün tüm yüzeyleri maviye boyanıyor. Daha sonra bu küp, bir ayrıtı 1 cm olan küçük küplere bölünüyor. Bu küçük küplerden kaç tanesinin sadece iki yüzü mavi boyalıdır?

Çözüm: Sadece iki yüzü boyalı küpler, büyük küpün ayrıtları üzerindedir (köşeler hariç). Her ayrıtta 4-2=2 tane bu tip küp vardır. Küpün 12 ayrıtı olduğuna göre 12 * 2 = 24 tane sadece iki yüzü boyalı küçük küp vardır.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi tüm prizmalar için her zaman doğrudur?

Çözüm: Prizmaların temel tanımı gereği hacim = Taban Alanı * Yükseklik formülü ile hesaplanır. Eğik prizmalarda yan ayrıtlar dik olmayabilir.

Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a, b ve c'dir. a*b = 12, b*c = 15 ve a*c = 20 olduğuna göre bu prizmanın toplam yüzey alanı kaç birimkaredir?

Çözüm: Yüzey Alanı = 2 * (ab + bc + ac) = 2 * (12 + 15 + 20) = 2 * 47 = 94 birimkare.

Bir kargo firması, boyutları 30 cm, 40 cm ve 50 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kolileri yan yana ve üst üste dizerek bir depo alanını tamamen doldurmak istiyor. Depo alanı da bir dikdörtgenler prizması şeklinde olup boyutları 3 metre, 4 metre ve 5 metredir. Hiç boşluk kalmayacak şekilde bu depoya en fazla kaç koli yerleştirilebilir?

Çözüm: Deponun hacmi: 300 cm * 400 cm * 500 cm = 60.000.000 cm³. Bir kolinin hacmi: 30 cm * 40 cm * 50 cm = 60.000 cm³. Koli sayısı = Toplam Hacim / Bir Kolinin Hacmi = 60.000.000 / 60.000 = 1000.

Ayrıtları 3, 4 ve 12 sayıları ile orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni 26 cm'dir. Bu prizmanın hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm: Ayrıtlar: 3k, 4k, 12k. Cisim köşegeni √(9k² + 16k² + 144k²) = √169k² = 13k. 13k = 26 => k = 2. Ayrıtlar: 6, 8, 24. Hacim = 6 * 8 * 24 = 1152 cm³.

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 24 cm², 30 cm² ve 20 cm² olarak verilmiştir. Bu prizmanın hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm: Ayrıtlar a, b, c olsun. a*b=24, b*c=30, a*c=20. Taraf tarafa çarparsak (a*b*c)² = 24*30*20 = 14400. V = a*b*c = √14400 = 120 cm³.

Taban alanı 64 cm² olan bir kare dik piramidin hacmi 256 cm³'tür. Bu piramidin tüm yüzey alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Taban alanı = 64 ise taban ayrıtı a=8 cm. Hacim = (1/3)*64*h = 256 => h = 12 cm. Yan yüz yüksekliği h_y = √(4² + 12²) = √160 = 4√10. Yan alan = (4*8*4√10)/2 = 64√10. (Sayılar tam çıkacak şekilde revize edilirse: h=3, a=8 gibi). Eğer h=12, a=8 ise şıklara uygun gelmez. Soru mantığı: Taban + Yan Alan.

Bir ayrıtı 10 cm olan küp şeklindeki bir akvaryumun yarısı su ile doludur. Akvaryumun içine, taban alanı 20 cm² ve yüksekliği 5 cm olan demir bir piramit tamamen batacak şekilde atılıyor. Akvaryumdaki su seviyesi kaç cm yükselir?

Çözüm: Piramidin hacmi = (1/3) * Taban Alanı * h = (1/3) * 20 * 5 = 100/3 cm³. Su seviyesindeki artış miktarı Δh olsun. Küpün taban alanı 10*10=100 cm². 100 * Δh = 100/3 => Δh = 1/3 ≈ 0,33 cm.