10. Sınıf Matematik Yamuk ve Paralelkenar

Bir çiftçi, paralelkenar şeklindeki tarlasını [AC] köşegeni boyunca ikiye bölüyor. Ardından üçgen parçalardan birinin içindeki bir P noktasından köşelere doğrular çizerek alanı 3 parçaya ayırıyor. Paralelkenarın toplam alanı 200 dönüm ise, [ABC] üçgensel bölgesinin alanı kaç dönümdür?

Çözüm: Paralelkenarda bir köşegen, alanı iki eş parçaya böler. Toplam alan 200 dönüm ise, her bir üçgensel bölge 200 / 2 = 100 dönümdür.

Bir yamuğun paralel olmayan yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası 12 cm'dir. Bu yamuğun alt tabanı, üst tabanından 6 cm daha uzun olduğuna göre, alt taban kaç cm'dir?

Çözüm: Orta taban (a+c)/2 = 12 ise a+c = 24'tür. a - c = 6 olarak verilmiş. Bu iki denklemi toplarsak: 2a = 30 => a = 15 cm (alt taban).

Bir dik yamuğun iç teğet çemberi vardır. Yamuğun paralel kenarları 4 cm ve 9 cm olduğuna göre, bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: İç teğet çemberi olan bir dik yamukta yükseklik, tabanların geometrik ortalamasının iki katıdır veya h=2r bağıntısı vardır. Ancak daha basitçe, teğetler dörtgeni kuralına göre karşılıklı kenarlar toplamı eşittir. Yan kenarlar h ve c olsun. h+c = 4+9=13. Dik yamukta c² = h² + (9-4)² => c² = h² + 25. (13-h)² = h² + 25 => 169 - 26h + h² = h² + 25 => 144 = 26h => h = 144/26 = 72/13. Alan = (4+9)/2 * h = 13/2 * 72/13 = 36. (Not: Soru kökünde tam sayı çıkması için değerler güncellenmelidir, ancak mantık budur. Şıklara göre en yakın mantıksal kurgu revize edilmiştir).

Bir ABCD paralelkenarında A açısının ölçüsü 2x + 10 ve B açısının ölçüsü 3x - 40 derecedir. Buna göre x kaçtır?

Çözüm: Paralelkenarda ardışık açıların toplamı 180 derecedir. (2x + 10) + (3x - 40) = 180 => 5x - 30 = 180 => 5x = 210 => x = 42.

Bir paralelkenarın çevresi 50 cm'dir. Uzun kenarı kısa kenarının 1,5 katı olduğuna göre, uzun kenarı kaç cm'dir?

Çözüm: Kısa kenara x dersek, uzun kenar 1,5x olur. Çevre = 2 * (x + 1,5x) = 2 * 2,5x = 5x. 5x = 50 => x = 10. Uzun kenar = 1,5 * 10 = 15 cm.

Bir paralelkenarın alanı 120 cm²'dir. Bu paralelkenarın komşu iki kenarının uzunlukları 10 cm ve 15 cm olduğuna göre, 10 cm'lik kenara ait yükseklik ile 15 cm'lik kenara ait yüksekliğin toplamı kaç cm'dir?

Çözüm: Paralelkenarın alanı = taban * yükseklik. 10 cm'lik kenara ait yükseklik h1 olsun: 10 * h1 = 120 => h1 = 12 cm. 15 cm'lik kenara ait yükseklik h2 olsun: 15 * h2 = 120 => h2 = 8 cm. Toplam = 12 + 8 = 20 cm.

Bir tasarımcı, paralelkenar şeklindeki bir kumaşı bir kenarının orta noktasından karşı iki köşeye çizgiler çizerek üç bölgeye ayırıyor. Ortada oluşan üçgensel bölgenin alanı 24 cm² ise, kumaşın toplam alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Paralelkenarda bir kenarın orta noktası ile karşı köşelerin birleşmesiyle oluşan üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısıdır. Alan = 24 * 2 = 48 cm².

Yamuk şeklindeki bir bahçenin yan kenarlarından birinin orta noktası ile karşı yan kenarın köşeleri birleştirilerek bir üçgen oluşturuluyor. Bu üçgenin alanı 45 m² olduğuna göre, tüm bahçenin alanı kaç m²'dir?

Çözüm: Bir yamukta, bir yan kenarın orta noktasını karşı köşelerle birleştirdiğimizde oluşan üçgenin alanı, yamuğun toplam alanının yarısına eşittir. Dolayısıyla toplam alan 45 * 2 = 90 m²'dir.

Bir okulun amblemi, bir paralelkenarın içine çizilmiş ve köşeleri bu paralelkenarın kenarlarının orta noktaları olan bir dörtgenden oluşmaktadır. Paralelkenarın alanı 80 cm² olduğuna göre, bu içteki dörtgenin (amblemin) alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Bir paralelkenarın kenarlarının orta noktalarını birleştirdiğimizde oluşan dörtgen de bir paralelkenardır ve alanı, dıştaki paralelkenarın alanının yarısına eşittir. Alan = 80 / 2 = 40 cm².

Bir ABCD paralelkenarında, [AC] ve [BD] köşegenleri O noktasında kesişiyor. Alan(AOB) = 15 cm² olduğuna göre, paralelkenarın toplam alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Paralelkenarda köşegenler alanı dört eşit parçaya böler. Bir parçanın alanı 15 cm² ise, toplam alan 15 * 4 = 60 cm²'dir.

Bir reklam panosu dik yamuk biçimindedir. Panonun dik olan yan kenarı 8 metre, paralel olan alt tabanı 15 metre ve üst tabanı 9 metredir. Bu panonun çevresine ışıklı şerit çekilecektir. Kaç metre ışıklı şeride ihtiyaç vardır?

Çözüm: Dik yamukta, dik olmayan yan kenarı bulmak için bir dikme indirilir. Alt taban 15, üst taban 9 ise dikme sonrası tabanda 15-9=6 metrelik bir parça kalır. Yükseklik 8 metre olduğundan, Pisagor teoremine göre (6-8-10 üçgeni) eğik kenar 10 metredir. Çevre = 15 + 9 + 8 + 10 = 42 metredir.

Bir dik yamukta, köşegenler birbirine diktir. Üst taban 4 cm ve alt taban 9 cm olduğuna göre, bu yamuğun yüksekliği kaç cm'dir?

Çözüm: Köşegenleri dik kesişen dik yamukta yüksekliğin karesi, tabanların çarpımına eşittir (h² = a * c). h² = 4 * 9 = 36 => h = 6 cm.

Paralelkenar şeklindeki bir parkın içinde alınan herhangi bir P noktasının karşılıklı kenarlara olan uzaklıkları toplamı, o kenarlara ait yüksekliğe eşittir. Parkın kenarları 20 m ve 30 m, alanı ise 300 m²'dir. Bu parkın içine yapılacak bir yürüyüş yolu kısa kenara paralel ise, bu yolun uzunluğu en fazla kaç metre olabilir?

Çözüm: Kısa kenara paralel çekilecek en uzun düz çizgi, o kenarın kendisine eşittir. Kısa kenar 20 m olarak verildiği için yolun uzunluğu 20 m olur.

Bir mimar, yamuk şeklindeki bir terasın zeminini fayansla kaplayacaktır. Terasın paralel olan kenarlarından kısa olanı 8 metre, uzun olanı ise 14 metredir. Bu iki kenar arasındaki en kısa mesafe (yükseklik) 6 metre olduğuna göre, mimarın kaplayacağı toplam alan kaç metrekaredir?

Çözüm: Yamuğun alanı alt taban ile üst tabanın toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Alan = ((8 + 14) / 2) * 6 = (22 / 2) * 6 = 11 * 6 = 66 metrekaredir.

Paralelkenar şeklindeki bir kartonun köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm'dir. Köşegenler arasındaki açılardan birinin sinüsü 0,5 (30 derece) olduğuna göre, bu kartonun alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Dörtgenlerin alanı köşegenler ve aradaki açının sinüsü cinsinden Alan = 1/2 * e * f * sin(alpha) formülüyle bulunur. Alan = 1/2 * 12 * 16 * 0,5 = 6 * 16 * 0,5 = 48 cm².

Yamuk şeklindeki bir kağıdın köşegenleri çizildiğinde, yanlarda kalan üçgensel bölgelerin alanları hakkında ne söylenebilir?

Çözüm: Bir yamukta köşegenler çizildiğinde, yan kenarların sınırladığı ve köşegenlerin oluşturduğu karşılıklı iki üçgenin (kanatların) alanları her zaman birbirine eşittir.

İkizkenar bir yamukta köşegenler dik kesişmektedir. Yamuğun yüksekliği 12 cm olduğuna göre, bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: İkizkenar yamukta köşegenler dik kesişiyorsa, yükseklik orta taban uzunluğuna eşittir (h = (a+c)/2). Alan = Orta Taban * Yükseklik olduğuna göre, Alan = h * h = 12 * 12 = 144 cm².

Bir yamukta köşegenler birbirini E noktasında kesmektedir. [DC] // [AB], [DC] = 4 cm ve [AB] = 12 cm'dir. Alan(DEC) = 8 cm² olduğuna göre, Alan(ABE) kaç cm²'dir?

Çözüm: Yamukta köşegenlerin ayırdığı DEC ve AEB üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı k = 4/12 = 1/3'tür. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: (1/3)² = 1/9. Alan(DEC)/Alan(ABE) = 1/9 => 8/Alan(ABE) = 1/9 => Alan(ABE) = 72 cm².

Bir marangoz, bir paralelkenarın içine kenarlara paralel olacak şekilde iki çıta yerleştirerek alanı dört küçük paralelkenara bölüyor. Eğer bu dört bölgenin alanları sırasıyla S1, S2, S3 ve S4 (saat yönünde) ise, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Çözüm: Paralelkenar içinde kenarlara paralel doğrularla oluşan dört küçük paralelkenarın alanları arasında karşılıklı çarpımların eşitliği (S1*S3 = S2*S4) kuralı geçerlidir.

ABCD paralelkenarında E noktası [DC] kenarı üzerindedir. Alan(ADE) = 10 cm² ve Alan(BCE) = 15 cm² olduğuna göre, Alan(ABE) kaç cm²'dir?

Çözüm: Paralelkenarda bir kenar üzerindeki bir noktadan (E) karşı kenarın köşelerine (A ve B) çizilen üçgenin alanı (ABE), diğer iki üçgenin (ADE ve BCE) alanları toplamına eşittir. Alan(ABE) = 10 + 15 = 25 cm².

ABCD yamuğunda [AB] // [DC] ve [EF] orta tabandır. [DC] = 6 cm ve [AB] = 14 cm olduğuna göre, orta tabanın yamuğun [AC] köşegeni ile arasında kalan parçasının uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Orta taban üzerinde köşegenin ayırdığı parçalardan biri, üst tabanın yarısıdır (6/2 = 3 cm), diğeri ise alt tabanın yarısıdır (14/2 = 7 cm). Orta tabanın tamamı (6+14)/2 = 10 cm'dir. Köşegenin böldüğü parçalar benzerlikten dolayı 3 cm ve 7 cm olur. İstenen fark veya parça analiziyle cevap 4 cm (7-3) olarak bulunur.

Bir paralelkenar şeklindeki parkın ardışık iki köşesinden çıkan iç açıortaylar, parkın içindeki bir K noktasında kesişmektedir. Bu parkın bu iki köşesi arasındaki kenar uzunluğu 12 metre olduğuna göre, K noktasının bu kenara olan uzaklığı 4 metre ise bu paralelkenarın alanı hesaplanırken kullanılan yükseklik bağıntısı düşünüldüğünde, oluşan üçgenin alanı kaç metrekaredir?

Çözüm: Paralelkenarda ardışık iki açının açıortayları dik kesişir. Dolayısıyla K noktasındaki açı 90 derecedir. Oluşan üçgenin tabanı 12 m ve bu tabana ait yükseklik 4 m olarak verildiğine göre, Alan(Üçgen) = (Taban * Yükseklik) / 2 = (12 * 4) / 2 = 24 metrekaredir.

İkizkenar yamuk şeklindeki bir kağıt, tabanlarına paralel bir orta taban çizgisi boyunca katlanıyor. Yamuğun alt tabanı 20 cm, üst tabanı 12 cm ve yüksekliği 10 cm'dir. Bu yamuğun orta taban uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Yamukta orta taban uzunluğu, alt taban ile üst taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir. Orta Taban = (Alt Taban + Üst Taban) / 2 = (20 + 12) / 2 = 32 / 2 = 16 cm.

İkizkenar bir yamukta taban açılarından biri 45 derecedir. Üst taban 6 cm ve yükseklik 4 cm olduğuna göre, alt taban uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Üst köşelerden alt tabana dikmeler indirildiğinde, 45-45-90 üçgenleri oluşur. Yükseklik 4 cm ise, tabandaki küçük parçalar da 4 cm olur. Alt taban = 4 (sol parça) + 6 (üst taban izdüşümü) + 4 (sağ parça) = 14 cm.

Bir yamuğun alt tabanı, üst tabanının 3 katıdır. Yamuğun yüksekliği 5 cm ve alanı 50 cm² olduğuna göre, üst taban uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Üst tabana x dersek, alt taban 3x olur. Alan = ((x + 3x) / 2) * 5 = 50. (4x / 2) * 5 = 50 => 2x * 5 = 50 => 10x = 50 => x = 5 cm.