10. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar

Bir veri analisti, karmaşık sayıları kullanarak bir veri setini normalize ediyor. Verilen bir z karmaşık sayısı için Re(z) verinin miktarını, Im(z) ise verinin değişim hızını temsil ediyor. z = (1+i)² / i sayısı için verinin miktarı (Re(z)) kaçtır?

Çözüm: (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Bu durumda z = 2i / i = 2 olur. z = 2 + 0i olduğu için Re(z) = 2'dir.

Matematik öğretmeni tahtaya x² - 6x + 13 = 0 denklemini yazıyor ve öğrencilerinden bu denklemin karmaşık sayılar kümesindeki çözüm kümesini bulmalarını istiyor. Buna göre, doğru cevap aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Diskriminant Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(13) = 36 - 52 = -16. Kökler x = (-b ± √Δ) / 2a formülünden; x = (6 ± √-16) / 2 = (6 ± 4i) / 2 = 3 ± 2i bulunur.

z1 = 2 + 3i ve z2 = 1 - 2i sayıları veriliyor. z1 · z2 çarpımının sonucu olan karmaşık sayının reel kısmı ile sanal kısmının farkı (Re - Im) kaçtır?

Çözüm: (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i² = 2 - i + 6 = 8 - i. Reel kısım 8, sanal kısım -1'dir. Fark: 8 - (-1) = 9.

Bir elektrik mühendisi, alternatif akım devrelerinde empedansı (direnç) karmaşık sayılarla ifade etmektedir. Bir devredeki toplam empedans, seri bağlı iki bileşenin empedansları toplamına eşittir. Birinci bileşenin empedansı Z1 = 4 + 3i ohm, ikinci bileşenin empedansı Z2 = 2 - 5i ohm olduğuna göre, bu devrenin toplam empedansı kaç ohm'dur?

Çözüm: Karmaşık sayılarda toplama işlemi yapılırken reel kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında toplanır. (4 + 2) + (3i - 5i) = 6 - 2i olur.

Bir mühendislik projesinde 'fazör' adı verilen karmaşık sayılar kullanılmaktadır. z = 6 / (1 + √3i) fazörünün reel kısmı kaçtır?

Çözüm: Paydayı eşleniğiyle çarpalım: 6(1 - √3i) / (1 + 3) = 6(1 - √3i) / 4 = 1.5(1 - √3i) = 1.5 - 1.5√3i. Reel kısım 1.5 olur.

z = x + iy olmak üzere, z + 2 · z_eşlenik = 9 - 4i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının sanal kısmı kaçtır?

Çözüm: (x + iy) + 2(x - iy) = 9 - 4i => 3x - iy = 9 - 4i. Buradan 3x = 9 (x=3) ve -y = -4 (y=4) bulunur. Sanal kısım y = 4'tür.

z = 3 - 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin (1/z) sanal kısmı kaçtır?

Çözüm: 1 / (3-2i) = (3+2i) / (3-2i)(3+2i) = (3+2i) / (9+4) = (3+2i) / 13 = 3/13 + (2/13)i. Sanal kısım 2/13'tür.

f(x) = x² - 4x + 7 fonksiyonu veriliyor. f(2 + i) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: f(2+i) = (2+i)² - 4(2+i) + 7 = (4 + 4i + i²) - 8 - 4i + 7 = (4 + 4i - 1) - 8 - 4i + 7 = 3 + 4i - 8 - 4i + 7 = 2.

Bir fizik deneyinde dalga boyu λ = (2 + i) / (1 - i) karmaşık sayısı ile modellenmiştir. Bu karmaşık sayının standart biçimi (a + bi) aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Paydayı eşleniğiyle çarparız: (2+i)(1+i) / (1-i)(1+i) = (2 + 2i + i + i²) / (1² + 1²) = (2 + 3i - 1) / 2 = (1 + 3i) / 2 = 1/2 + 3/2i.

i² = -1 olmak üzere, z = i¹⁵ + i¹⁶ + i¹⁷ işleminin sonucu nedir?

Çözüm: i¹⁵ = i³ = -i. i¹⁶ = i⁰ = 1. i¹⁷ = i¹ = i. Toplam: -i + 1 + i = 1.

Bir bilgisayar oyunu algoritmasında karakterin konumu karmaşık düzlemde z = x + iy şeklinde tanımlanmıştır. Karakter her 'zıplama' komutunda mevcut konumunun karesinin 1 fazlasına gitmektedir. Başlangıçta z = i noktasında bulunan karakter, bir kez zıpladığında hangi noktaya ulaşır?

Çözüm: Karakterin başlangıç konumu z = i. Zıplama kuralı: f(z) = z² + 1. i² = -1 olduğu için f(i) = i² + 1 = -1 + 1 = 0 noktasına ulaşır.

P(x) = x² - 2x + 5 polinomunun köklerinden biri z1 = 1 + 2i olduğuna göre, diğer kökü olan z2'nin sanal kısmı ile z1'in reel kısmının çarpımı kaçtır?

Çözüm: Reel katsayılı ikinci derece denklemlerin karmaşık kökleri birbirinin eşleniğidir. z1 = 1 + 2i ise z2 = 1 - 2i'dir. z2'nin sanal kısmı -2, z1'in reel kısmı 1'dir. Çarpımları: (-2) * 1 = -2.

Karmaşık düzlemde bir A noktası z = -3 + 4i sayısını temsil etmektedir. Bu noktanın orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm: Bir z = a + bi sayısının orijine uzaklığı √(a² + b²) formülü ile bulunur. √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

z = a + bi sayısının eşleniği z'dir. z + z_eşlenik = 6 ve z · z_eşlenik = 13 olduğuna göre b'nin alabileceği değerlerden biri hangisidir?

Çözüm: z + z_eşlenik = 2a = 6 => a = 3. z · z_eşlenik = a² + b² = 13 => 3² + b² = 13 => 9 + b² = 13 => b² = 4 => b = 2 veya b = -2.

Karmaşık sayılar kümesinde (1 - i)⁴ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: (1-i)² = 1 - 2i + i² = 1 - 2i - 1 = -2i. O halde (1-i)⁴ = (-2i)² = 4i² = -4.

Karmaşık düzlemde z = a + bi sayısı için |z| = 13 ve a = 5 olduğu biliniyor. z sayısının sanal kısmının pozitif değeri kaçtır?

Çözüm: |z| = √(a² + b²) = 13. Buradan 5² + b² = 13² => 25 + b² = 169 => b² = 144. b = 12 veya b = -12. Pozitif değer 12'dir.

i sanal sayı birimi olmak üzere, bir sanatçı dijital bir desende i'nin kuvvetlerini kullanmaktadır. Desendeki 102. adımda kullanılacak olan değer i'nin 102. kuvvetine (i¹⁰²) eşit olduğuna göre, bu değer aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: i'nin kuvvetleri her 4 adımda bir tekrar eder (i, -1, -i, 1). 102 sayısının 4 ile bölümünden kalan 2'dir. Bu nedenle i¹⁰² = i² = -1 olur.

Reel katsayılı ax² + bx + c = 0 denkleminde Δ < 0 ise kökler karmaşıktır. x² + 2x + 5 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. x = (-2 ± √-16) / 2 = (-2 ± 4i) / 2 = -1 ± 2i.

x² + 1 = 0 denkleminin çözümünde reel sayılar yetersiz kaldığı için matematikçiler sanal sayı birimi i'yi tanımlamıştır. Buna göre, √-4 + √-9 - √-16 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: √-4 = 2i, √-9 = 3i, √-16 = 4i. İşlem: 2i + 3i - 4i = 1i yani i olur.

Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı f(z) = z · z_eşlenik fonksiyonu veriliyor. z = 3 - 4i olduğuna göre, f(z) değeri bir geometrik şeklin nesini temsil edebilir?

Çözüm: z = a + bi ise z · z_eşlenik = (a + bi)(a - bi) = a² + b² olur. Bu değer, karmaşık düzlemde sayının orijine olan uzaklığının (mutlak değerinin) karesidir.

z = (1 + i)¹⁰ karmaşık sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: (1+i)² = 1 + 2i + i² = 2i'dir. O halde (1+i)¹⁰ = ((1+i)²)⁵ = (2i)⁵ = 2⁵ · i⁵ = 32 · i¹ = 32i.

Bir öğrenci i'nin kuvvetlerini hesaplarken bir hata yapıyor ve i + i² + i³ + i⁴ toplamını 1 buluyor. Bu işlemin doğru sonucu nedir?

Çözüm: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1. Toplam: i + (-1) + (-i) + 1 = 0.

Bir kriptoloji uzmanı, mesajlarını şifrelemek için z = 2 + i karmaşık sayısını kullanıyor. Şifreleme kuralı, gönderilecek sayıyı z ile çarpmaktır. Uzman, '3 - 2i' sayısını şifrelemek isterse elde edeceği yeni karmaşık sayı ne olur?

Çözüm: (2 + i) · (3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i² = 6 - i - 2(-1) = 6 - i + 2 = 8 - i. (Hata kontrolü: 6-4i+3i+2 = 8-i). Seçenek A doğru olmalıydı, işlem hatası düzeltildi: 8-i.

Bir grafik tasarım programında bir nesnenin yansıması alınırken karmaşık sayıların eşleniği kullanılmaktadır. Eğer bir noktanın koordinatı z = a + bi ise, x eksenine göre simetriği z'nin eşleniği olan z' = a - bi'dir. Programda bir logonun ucu z = 5 - 12i noktasında ise, bu noktanın x eksenine göre simetriği olan noktanın reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

Çözüm: z = 5 - 12i sayısının eşleniği z' = 5 + 12i'dir. Reel kısmı 5, sanal kısmı 12'dir. Toplamları 5 + 12 = 17 olur.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Çözüm: Reel sayılar kümesi, karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesidir (R ⊂ C). Her r reel sayısı r + 0i şeklinde yazılabilir.