10. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Testi Çöz

Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri diğerinden 7 cm uzundur. Hipotenüsü 13 cm olduğuna göre, kısa dik kenar kaç cm'dir?

Çözüm: Kenarlar x ve x+7 olsun. x² + (x+7)² = 13² => x² + x² + 14x + 49 = 169 => 2x² + 14x - 120 = 0 => x² + 7x - 60 = 0. (x+12)(x-5) = 0. x = 5 cm.

Kökleri 3 ve -5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Kökler toplamı T = 3 + (-5) = -2. Kökler çarpımı Ç = 3 * (-5) = -15. Denklem: x² - Tx + Ç = 0 => x² - (-2)x + (-15) = 0 => x² + 2x - 15 = 0.

x² - (m + 2)x + 2m = 0 denkleminin köklerinden biri m - 1 olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm: Kök denklemi sağlar. (m-1)² - (m+2)(m-1) + 2m = 0. m² - 2m + 1 - (m² + m - 2) + 2m = 0. m² - 2m + 1 - m² - m + 2 + 2m = 0. -m + 3 = 0 => m = 3. Tek değer çıktığı için toplam 3'tür.

Bir dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarından 4 cm fazladır. Bu dikdörtgenin alanı 96 cm² olduğuna göre, çevresi kaç cm'dir?

Çözüm: Kısa kenar x ise uzun kenar x+4'tür. x(x+4) = 96 => x² + 4x - 96 = 0. (x+12)(x-8) = 0. x = 8 (kenar negatif olamaz). Kısa kenar 8, uzun kenar 12. Çevre = 2(8+12) = 40 cm.

x² - 3x + k = 0 denkleminin kökleri arasında x₁ = 2x₂ bağıntısı varsa k kaçtır?

Çözüm: x₁ + x₂ = 3 => 2x₂ + x₂ = 3 => 3x₂ = 3 => x₂ = 1. Kök denklemi sağlar: 1² - 3(1) + k = 0 => 1 - 3 + k = 0 => k = 2.

Bir sinema salonunda koltuklar x sıra halinde düzenlenmiştir. Her sırada (x + 3) koltuk bulunmaktadır. Toplam koltuk sayısı 180 olduğuna göre, bir sırada kaç koltuk vardır?

Çözüm: x(x+3) = 180 => x² + 3x - 180 = 0. (x+15)(x-12) = 0. x = 12 (sıra sayısı). Bir sıradaki koltuk sayısı x+3 = 12+3 = 15.

x⁴ - 13x² + 36 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: x² = t dönüşümü yapılırsa: t² - 13t + 36 = 0. (t-9)(t-4) = 0. t=9 veya t=4. x²=9 ise x=±3, x²=4 ise x=±2.

x² - 8x + 4 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂'dir. Buna göre 1/x₁ + 1/x₂ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂). x₁ + x₂ = 8, x₁x₂ = 4. 8/4 = 2.

Bir sayının karesi ile 3 katının toplamı 28'dir. Bu sayının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Çözüm: x² + 3x = 28 => x² + 3x - 28 = 0. Kökler çarpımı c/a = -28'dir.

x² - 2x + 5 = 0 denkleminin karmaşık sayılar kümesindeki köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Δ = (-2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. √Δ = 4i. Kökler: (2 ± 4i) / 2 = 1 ± 2i.

Bir kenar uzunluğu (x + 2) metre olan kare şeklindeki bir bahçenin ortasına, kenarlara paralel olacak şekilde bir kenarı (x - 3) metre olan kare şeklinde bir havuz yapılıyor. Bahçenin havuz dışında kalan bölgesinin alanı 55 metrekare olduğuna göre, bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

Çözüm: Bahçenin alanı (x+2)^2, havuzun alanı (x-3)^2'dir. Kalan alan: (x+2)^2 - (x-3)^2 = 55. Buradan (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 6x + 9) = 55 => 10x - 5 = 55 => 10x = 60 => x = 6. Bahçenin bir kenarı x+2 = 6+2 = 8 değil, soru x'i değil kenar uzunluğunu sormaktadır. Denklem çözüldüğünde x=6 bulunur, bahçe kenarı 6+2=8'dir. (Düzeltme: Seçenek A x=4 için ayarlanmış olabilir, tekrar hesaplandığında x=6 ise kenar 8'dir. Seçenek C doğrudur.)

x² - 4x + m + 5 = 0 denkleminin farklı iki reel kökü olduğuna göre m'nin değer aralığı nedir?

Çözüm: Farklı iki reel kök için Δ > 0. (-4)² - 4(1)(m+5) > 0 => 16 - 4m - 20 > 0 => -4 > 4m => m < -1.

Kökleri x₁ ve x₂ olan x² - 5x + 2 = 0 denklemi için x₁²x₂ + x₁x₂² ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂). Kökler toplamı x₁ + x₂ = -b/a = 5. Kökler çarpımı x₁x₂ = c/a = 2. Sonuç: 2 * 5 = 10.

x² - 2x - 1 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm: Δ = (-2)² - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8. Kökler: (2 ± √8) / 2 = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2.

x² - 6x + m - 1 = 0 denkleminin reel kökü olmadığına göre, m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm: Reel kök yoksa Δ < 0 olmalıdır. Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(m-1) < 0. 36 - 4m + 4 < 0 => 40 < 4m => 10 < m. En küçük tam sayı m = 11'dir.

x² - 10x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂'dir. Buna göre √x₁ + √x₂ ifadesinin pozitif değeri kaçtır?

Çözüm: A = √x₁ + √x₂ olsun. A² = x₁ + x₂ + 2√(x₁x₂). x₁ + x₂ = 10, x₁x₂ = 1. A² = 10 + 2(1) = 12. A = √12.

Bir kırtasiyeci tanesini (x-2) TL'ye aldığı kalemlerin tanesini (x+2) TL'den satıyor. Kırtasiyeci x adet kalem satışından 80 TL kar ettiğine göre x kaçtır?

Çözüm: Bir kalemdeki kar: (x+2) - (x-2) = 4 TL. x adet kalemdeki toplam kar: 4x = 80 => x = 20.

Bir top mermisinin t saniye sonraki yüksekliği h(t) = -5t² + 20t + 25 denklemi ile modellenmektedir. Bu top mermisi kaçıncı saniyede yere düşer?

Çözüm: Yere düşme anında h(t) = 0 olmalıdır. -5t² + 20t + 25 = 0 denklemini -5 ile sadeleştirirsek: t² - 4t - 5 = 0 olur. (t-5)(t+1) = 0. Zaman negatif olamayacağı için t = 5 bulunur.

Bir sınıftaki öğrenciler birbirlerine hediye alacaktır. Toplam 240 hediye verildiğine göre, sınıfta kaç öğrenci vardır? (Her öğrenci kendisi hariç herkese hediye almıştır.)

Çözüm: Öğrenci sayısı n olsun. Herkes (n-1) kişiye hediye alır. n(n-1) = 240 => n² - n - 240 = 0. (n-16)(n+15) = 0. n = 16 bulunur.

Bir kenarı x birim olan bir karenin alanı, kenarları (x-2) ve (x+6) olan bir dikdörtgenin alanına eşittir. Buna göre x kaçtır?

Çözüm: x² = (x-2)(x+6) => x² = x² + 4x - 12 => 0 = 4x - 12 => 4x = 12 => x = 3.

Ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı 156 olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm: n(n+1) = 156 => n² + n - 156 = 0. (n+13)(n-12) = 0. n = 12 (pozitif dediği için). Sayılar 12 ve 13'tür. Toplam: 12 + 13 = 25.

2x² - ax + 8 = 0 denkleminin birbirine eşit iki reel kökü olduğuna göre a'nın pozitif değeri kaçtır?

Çözüm: Δ = 0 olmalı. (-a)² - 4(2)(8) = 0 => a² - 64 = 0 => a = 8 (pozitif değer).

(x² - 4) / (x - 2) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm: Payın kökleri x²-4=0 => x=2, x=-2. Ancak payda x-2 olduğundan x=2 paydayı sıfır yapar ve tanımsızlığa yol açar. Bu yüzden sadece x=-2 köktür.

x² + (k-2)x - 4 = 0 denkleminin kökleri zıt işaretli ve mutlak değerce birbirine eşit olduğuna göre k kaçtır?

Çözüm: Kökler zıt işaretli ve mutlak değerce eşitse (simetrik kök), kökler toplamı sıfırdır. x₁ + x₂ = 0 => -(k-2)/1 = 0 => k = 2.

x² + 4x + k + 2 = 0 denkleminin çakışık iki reel kökü olduğuna göre, k kaçtır?

Çözüm: Çakışık kök için Δ = 0 olmalıdır. 4² - 4(1)(k+2) = 0 => 16 - 4k - 8 = 0 => 8 = 4k => k = 2.